جداکننده های نقاط در فضای چندتصویری

در جریان مطالعه برخی واریته های تصویری، وضعیت هایی پیش می آید که بررسی خاصیت معینی درباره واریته مورد مطالعه به بررسی خاصیت معینی درباره یک مجموعه از نقاط متناهی در p^n و یا یک فضای چندتصویری p^(n_1 )×?×p^(n_r ) منجر می گردد. به عنوان مثال مساله تعیین درجه مولدهای مینیمال ایده آل تعریف کننده یک واریته تصویری از درجه s در p^n، که حلقه مختصاتی آن کوهن-مک آولی است، به مساله ای درباره s نقطه در p^n منجر می گردد. از طرف دیگر مطالعه خواص هندسی مجموعه ای متناهی از نقاط در p^n یکی از موضوعات کلاسیک هندسه جبری بوده است. به این ترتیب مجموعه نقاط متناهی در p^n و یا در p^(n_1 )×?×p^(n_r )، نه تنها به عنوان اشیایی هندسی مورد مطالعه قرار گرفته اند، بلکه به دلیل ارتباطشان با سایر مسایل هندسه جبری، دانستن خواص آن ها همواره در کانون توجه هندسه جبری دانان بوده است. هدف ما در این پایان نامه بررسی برخی خواص هندسی-جبری مجموعه z={p_1,…,p_t} در p^(n_1 )×?×p^(n_r ) می باشد. به خصوص حالتی را بررسی خواهیم کرد که نقاط، چندگانگی هایی بیش از یک دارند. فرض می کنیم i_z=i_(p_1)^(m_1 )???i_(p_t)^(m_t ) ایده آل چندمدرجی z در حلقه n^r-مدرج r=k[x_1,0,…,x_(1,n_1 ),x_2,0,…,x_(2,n_2 ),…,x_(r,0),…,x_(r,n_r )] باشد. به طور مشخص در جستجوی پاسخ هایی برای سه سوال زیر خواهیم بود: الف) فرض کنیم z?p^(n_1 )×?×p^(n_r ) یک مجموعه متناهی از نقاط باشد. تحت چه شرایط لازم و کافی ای، حلقه r/i_z کوهن-مک آولی است؟ ب) تحلیل آزاد n^r-مدرج مینیمال i_z به چه صورتی می تواند باشد؟ به خصوص ساختمان آخرین مدول سی زی جی در تحلیل مینیمال i_z چیست؟ به علاوه آیا می توان یک مشخص سازی مجموعه های به طور حسابی کوهن-مک آولی بر حسب تحلیل آزاد i_z ارائه داد؟ ج) تابع هیلبرت مجموعه z چیست؟ به خصوص آیا می توان یک مشخص سازی مجموعه های به طور حسابی کوهن-مک آولی را بر حسب تابع هیلبرت آن ها ارائه داد؟ در فصول 2،3 و 4 این پایان نامه، شرایطی را که تحت آن، مساله های فوق جواب دارند بررسی و بخشی از یافته ها درباره مجموعه نقاط متناهی در p^(n_1 )×?×p^(n_r ) را ارائه خواهیم کرد. از جمله ابزارهایی که اطلاعات مفیدی درباره هندسه این نقاط به دست می دهد، جداکننده ها می باشند. در ساده ترین حالت، یعنی هنگامی که اعداد صحیح m_i همگی برابر 1 هستند، جداکننده به صورت زیر تعریف می شود: فرض کنیم z={p_1,…,p_t} یک مجموعه متناهی در p^(n_1 )×?×p^(n_r ) باشد. در حلقه n^r-مدرج r=k[x_1,0,…,x_(1,n_1 ),x_2,0,…,x_(2,n_2 ),…,x_(r,0),…,x_(r,n_r )] چندجمله ای چندهمگنی f?r را یک جداکننده نقطه p?z می نامند هرگاه f(p)?0 و برای هر q?z{p}، f(q)=0. به طور هندسی، یک جداکننده یک ابر رویه در p^(n_1 )×?×p^(n_r ) می باشد که از تمامی نقاط q?z{p} می گذرد ولی از p نمی گذرد. در این پایان نامه سعی می کنیم به کمک جداکننده ها پاسخی برای سوال های فوق فراهم کنیم.